Pitágoras pode ser entendido como um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o ângulo do vértice analisado é 90°. Sendo assim, é muito interessante e curioso o fato de que podemos demonstrar a Lei dos Cossenos utilizando o próprio Teorema de Pitágoras.
Para tal, adotaremos demonstrações em essência iguais paras duas situações que seguem: em um triângulo genérico obtusângulo e em em um retângulo.

A Lei dos Cossenos é uma relação trigonométrica que relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer e produz as seguintes relações:
{BC2=AC2+AB2−2⋅AC⋅AB⋅cos(α) AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos(β) AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cos(γ)Utilizando um triângulo obtusângulo
Consideremos o triângulo obtusângulo AOB abaixo.

Tomamos o ângulo α, do triângulo AOC, temos:
sen(α)=ACOA⟹AC=OA⋅sen(α)e
cos(α)=OCOA⟹OC=OA⋅cos(α)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
AB2=AC2+CB2 AB2=AC2+(OB−OC)2 AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OC2
Fazendo as substituições na relação acima, obtemos:
AB2=(OA⋅sen(α))2+(OA⋅cos(α))2−2⋅(OA⋅cos(α))⋅OB+OB2 AB2=OA2⋅sen2(α)+OA2cos2(α)−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)+OB2 AB2=(sen2(α)+cos2(α))⋅OA2−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)+OB2
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde sen2(α)+cos2(α)=1, e aplicando na relação acima, obtemos:
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)Utilizando um triângulo retângulo
Consideremos o triângulo retângulo ACB abaixo:

Lembrando das operações de adição e subtração de arcos, podemos mostrar o que pode ser visualizado de maneira intuitiva na figura acima:
sen(β)=sen(180°−β) sen(β)=sen(180°)⋅cos(α)−sen(α)⋅cos(180°) sen(β)=(0)⋅cos(α)−sen(α)⋅(−1) sen(β)=sen(α)Assim:
sen(180°−α)=ACOA AC=OA⋅sen(180°−α) AC=OA⋅sen(α)
e
cos(β)=cos(180°−α) cos(180°−α)=cos(180°−α)⋅cos(α)+sen(180°)⋅sen(α) cos(180°−α)=(−1)⋅cos(α)+(0)⋅sen(α) cos(180°−α)=−cos(α)
Assim:
cos(180°−α)=COOA CO=OA⋅cos(180°−α) CO=−OA⋅cos(α)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:
AB2=AC2+CB2 AB2=AC2+(CO+OB)2 AB2=AC2+CO2+2⋅CO⋅OB+OB2 AB2=(OA⋅sen(α))2+(−OA⋅cos(α))2+2⋅(−OA⋅cos(α))⋅OB+OB2 AB2=OA2⋅sen(α)+OA2⋅cos2(α)−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)+OB2 AB2=(sen2(α)+cos2(α))⋅OA2−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)+OB2
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde sen2(α)+cos2(α)=1, e aplicando na relação acima, obtemos:
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cos(α)Exemplo 1:
Calcular o valor do lado x no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.

BC2=32+42−2⋅3⋅4⋅cos(30∘) BC2=9+16−2⋅3⋅4⋅√32 BC2=25−12√3 BC≈2,05
Exemplo 2:
Calcular o valor do lado x no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.
(4√2)2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos(60∘) 16⋅2=62+BC2−2⋅6⋅BC⋅12 32=36+BC2−6⋅BC BC2−6BC−4=0
Aplicamos a fórmula de Bháskara para resolver a equação quadrática:
BC=−b±√b2−4ac2a BC=6±√36+162 BC=6±√522 BC=6±2√132 BC=3±√13
Consideramos apenas a raiz positiva, assim, BC=3+√13≈6,6.
Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.
Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.
Links para este artigo:
- http://bit.ly/Lei-Cossenos-Pitagoras
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/09/demonstracao-da-lei-dos-cossenos-atraves-de-pitagoras.html
Não entendi porque o termo c na equação do exemplo 2 é -4. O correto não seria +4? (36-32)
ResponderExcluirNa verdade, é 32 - 36.
ExcluirNa parte:
ResponderExcluir"Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:"
Na terceira linha, não seria:
AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OC2
Ao invés de
AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OB2 ?
Olá amigo. Agradeço pela leitura atenta e por relatar. Já está corrigido. Um abraço.
ExcluirQ assim sejam voso trabalho q Deus abençoe você
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