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02/09/2019

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras

Pitágoras pode ser entendido como um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o ângulo do vértice analisado é 90°. Sendo assim, é muito interessante e curioso o fato de que podemos demonstrar a Lei dos Cossenos utilizando o próprio Teorema de Pitágoras.

Para tal, adotaremos demonstrações em essência iguais paras duas situações que seguem: em um triângulo genérico obtusângulo e em em um retângulo.


Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras

A Lei dos Cossenos é uma relação trigonométrica que relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer e produz as seguintes relações:
{BC2=AC2+AB22ACABcos(α) AC2=AB2+BC22ABBCcos(β) AB2=AC2+BC22ACBCcos(γ)


Utilizando um triângulo obtusângulo

Consideremos o triângulo obtusângulo AOB abaixo.

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo obtusângulo

Tomamos o ângulo α, do triângulo AOC, temos:
sen(α)=ACOAAC=OAsen(α)

e
cos(α)=OCOAOC=OAcos(α)

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
AB2=AC2+CB2 AB2=AC2+(OBOC)2 AB2=AC2+OB22OBOC+OC2

Fazendo as substituições na relação acima, obtemos:
AB2=(OAsen(α))2+(OAcos(α))22(OAcos(α))OB+OB2 AB2=OA2sen2(α)+OA2cos2(α)2OAOBcos(α)+OB2 AB2=(sen2(α)+cos2(α))OA22OAOBcos(α)+OB2

Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde sen2(α)+cos2(α)=1, e aplicando na relação acima, obtemos:
AB2=OA2+OB22OAOBcos(α)


Utilizando um triângulo retângulo

Consideremos o triângulo retângulo ACB abaixo:

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

Lembrando das operações de adição e subtração de arcos, podemos mostrar o que pode ser visualizado de maneira intuitiva na figura acima:
sen(β)=sen(180°β) sen(β)=sen(180°)cos(α)sen(α)cos(180°) sen(β)=(0)cos(α)sen(α)(1) sen(β)=sen(α)

Assim:
sen(180°α)=ACOA AC=OAsen(180°α) AC=OAsen(α)

e
cos(β)=cos(180°α) cos(180°α)=cos(180°α)cos(α)+sen(180°)sen(α) cos(180°α)=(1)cos(α)+(0)sen(α) cos(180°α)=cos(α)

Assim:
cos(180°α)=COOA CO=OAcos(180°α) CO=OAcos(α)

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:
AB2=AC2+CB2 AB2=AC2+(CO+OB)2 AB2=AC2+CO2+2COOB+OB2 AB2=(OAsen(α))2+(OAcos(α))2+2(OAcos(α))OB+OB2 AB2=OA2sen(α)+OA2cos2(α)2OAOBcos(α)+OB2 AB2=(sen2(α)+cos2(α))OA22OAOBcos(α)+OB2

Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde sen2(α)+cos2(α)=1, e aplicando na relação acima, obtemos:
AB2=OA2+OB22OAOBcos(α)


Exemplo 1:

Calcular o valor do lado x no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 1

BC2=32+42234cos(30) BC2=9+1623432 BC2=25123 BC2,05


Exemplo 2:

Calcular o valor do lado x no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.


Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 2

(42)2=AB2+BC22ABBCcos(60) 162=62+BC226BC12 32=36+BC26BC BC26BC4=0

Aplicamos a fórmula de Bháskara para resolver a equação quadrática:
BC=b±b24ac2a BC=6±36+162 BC=6±522 BC=6±2132 BC=3±13

Consideramos apenas a raiz positiva, assim, BC=3+136,6.

Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.


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COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras. Publicado por Kleber Kilhian em 02/09/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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5 comentários:

  1. Não entendi porque o termo c na equação do exemplo 2 é -4. O correto não seria +4? (36-32)

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  2. Na parte:

    "Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:"

    Na terceira linha, não seria:

    AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OC2

    Ao invés de

    AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OB2 ?

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    Respostas
    1. Olá amigo. Agradeço pela leitura atenta e por relatar. Já está corrigido. Um abraço.

      Excluir
  3. Q assim sejam voso trabalho q Deus abençoe você

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